Завдання всеукраїнської олімпіади з математики 2018-2019 н.р яка відбулась 10 листопада 2018р. у Львівській області. Заготовки завдань, відповідей та критерії з олімпіади ви можете скачати у кінці сторінки.
ВСЕУКРАЇНСЬКА ОЛІМПІАДА З МАТЕМАТИКИ
ІІ етап
10 листопада 2018 р.
6 клас
- Назвемо число дзеркальним, якщо зліва направо воно «читається» так само, як і справа наліво. Наприклад, число 123321 – дзеркальне.
а) Запишіть одне дзеркальне п’ятизначне число, яке ділиться на 5. б) Скільки існує п’ятизначних дзеркальних чисел, які діляться на 5?
- Заможний Кріт восени добув 8 мішків зерна. На кожний зимовий місяць йому потрібно або 3 мішки зерна, або 1 мішок зерна і 3 мішки пшона. Кріт може обмінювати в інших кротів 1 мішок зерна на 2 мішки пшона. Але в його нору не вміщається більше 12 мішків, а зимою Кріт з нори не виходить і не може займатись обміном. Допоможіть Кроту зробити запаси на зиму.
- Розріжте дану фігуру на три однакові частини.
- На дошці записаний ряд з чисел і зірочок: . Замініть зірочки числами так, щоб сума будь-яких трьох чисел, що стоять поруч, дорівнювала
- На галявині зібрались сонечка. Якщо у сонечка на спині 6 крапочок, то воно завжди каже правду, а якщо 4 крапочки – то воно завжди бреше, а інших сонечок на галявині не було. Перше сонечко сказало: «У нас однакова кількість крапочок на спинці». Друге сказало: «Разом у нас 30 крапочок». «Ні, у всіх разом 26 крапочок на спинці », – заперечило третє. «З них рівно одне сказало правду», – заявило кожне з решти сонечок. Скільки всього сонечок зібралось на галявині?
ВСЕУКРАЇНСЬКА ОЛІМПІАДА З МАТЕМАТИКИ
ІІ етап
10 листопада 2018 р.
7 клас
- На годиннику пів на дев’яту. Знайдіть кут між годинниковою та хвилинною стрілкою.
- Гаррі, Рон і Герміона хотіли придбати однакові мантії невидимки. Однак їм не вистачало коштів: Рону – третини ціни мантії, Герміоні – чверті, а Гаррі одної п’ятої ціни мантії. Коли на розпродажі ціна мантії впала на 9,4 срібних серпиків, друзі склали разом свої заощадження і придбали три мантії. Скільки бронзових кнатів коштувала одна мантія до зниження ціни? (В світі магів використовується немаґлівська валюта: золоті ґалеони, срібні серпики, бронзові кнати. 1ґалеон=17серпиків, 1серпик=29кнатів)
- Доведіть, що при будь якому натуральному значенні вираз рівний цілому числу.
- За одну операцію можна поміняти місцями будь-які дві стрічки або два стовпці квадратної таблиці. Чи можна за декілька таких операцій із зафарбованої фігури, що зображена на рисунку зліва, отримати зафарбовану фігуру, зображену справа? Відповідь обґрунтуйте.
- Біолог послідовно розкладав 150 жуків в десять банок. Причому в кожну наступну банку він поміщував жуків більше, ніж у попередню. Кількість жуків у першій банці складає не менше половини від кількості жуків у десятій банці. Скільки жуків у шостій банці?
ВСЕУКРАЇНСЬКА ОЛІМПІАДА З МАТЕМАТИКИ
ІІ етап
10 листопада 2018 р.
8 клас
- Доведіть, що якщо , то
( )( )( ) ( )
- В трапеції ABCD точка M – середина бічної сторони CD. Відрізки BD і BM ділять кут ABC на три рівні частини. Діагональ АС є бісектрисою кута BAD. Знайдіть кути трапеції.
- Точки перетину графіків чотирьох функцій, заданих формулами є вершинами чотирикутника. Знайдіть координати точки перетину його діагоналей.
- З 1812 однакових квадратів зі стороною 1 мм зробили прямокутну рамку для групової фотографії (див. рисунок, краї фотографії співпадають з внутрішніми краями рамки). Потім фотографію розрізали по лінії міліметрової сітки на дві прямокутні частини.
Тепер знадобилось дві рамки, на які використали 2018 таких самих квадратів. Знайдіть розміри початкової фотографії.
- Доведіть, що з 8 цілих чисел завжди можна вибрати два таких, різниця яких ділиться на
ВСЕУКРАЇНСЬКА ОЛІМПІАДА З МАТЕМАТИКИ
ІІ етап
10 листопада 2018 р.
9 клас
- Визначте значення параметра при якому сума квадратів коренів рівняння ( ) буде найменшою.
- В трикутнику із сторонами 15 см, 15 см, 24 см знайдіть відстань від точки перетину медіан до сторін трикутника.
- Доведіть нерівність .
- Кожна клітинка шахової дошки пофарбована в один з чотирьох кольорів (білий, чорний, синій, червоний) так, що будь-які дві сусідні клітинки мають різний колір (сусідніми вважаються клітинки, які мають спільну сторону або вершину). Скільки клітинок пофарбовано у білий колір?
- Андрій склав десять послідовних натуральних чисел, а потім поділив отриману суму на суму наступних десяти послідовних натуральних чисел. Чи міг він отримати в результаті 0,8?
ВСЕУКРАЇНСЬКА ОЛІМПІАДА З МАТЕМАТИКИ
ІІ етап
10 листопада 2018 р.
10 клас
- Знайдіть кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах
̅( ) і ̅( ).
- Про квадратний тричлен () відомо, що | ( )| при . Знайдіть найбільше можливе значення .
- Від двох шматків сплавів з різним вмістом свинцю масою 6 кг і 12 кг відрізали по шматку рівної маси. Кожний з відрізаних шматків сплавили з залишком другого сплаву, після чого відсотковий вміст свинцю в обох сплавах став рівним. Знайдіть маси відрізаних шматків.
- Невід’ємні числа задовольняють співвідношення
Доведіть, що
- В прямокутнику розташовано 6 точок. Доведіть, що знайдеться пара точок, віддалених одна від одної не більше ніж на √ .
ВСЕУКРАЇНСЬКА ОЛІМПІАДА З МАТЕМАТИКИ
ІІ етап
10 листопада 2018 р.
11 клас
- Доведіть, що коли – довжини катетів, а – довжина гіпотенузи, то
- Графіки функцій перетинаються в точці, яка розміщена вище осі абсцис. Визначте, скільки коренів може мати рівняння
- Невід’ємні числа задовольняють співвідношення
Доведіть, що
- В вершинах дев’ятнадцятикутника записали різні цілі числа (по одному у кожній вершині). Потім всі числа одночасно замінили на нові: кожне замінили на різницю двох наступних за ним за годинниковою стрілкою (із сусіднього віднімали наступне за ним). Чи міг добуток отриманих чисел виявитись числом непарним?
- В правильній шестикутній піраміді SABCDEF (ABCDEF — основа) бічне ребро рівне , плоский кут при вершині S рівний . Мурашка повзе по поверхні піраміди з вершини А, намагаючись побувати на всіх бічних ребрах (можливо в вершинах) і повернутись у точку А. Яка довжина її найкоротшого маршруту?
Скачати всеукраїнська олімпіада з математики: завдання, відповіді, критерії