Відділ освіти виконкому Жовтоводської міської ради Комунальний заклад освіти ліцей природничо-наукового навчання
Готуємося до ЗНО «Нерівності з параметром»
Розробники:
Вайман В.Л.- вчитель математики
Вайман Р.А.-вчитель математики
м.Жовті Води 2013 рік
Завдання цієї статті зорієнтовані на учнів 8-11 класів і вибрані з підручників «Алгебра. 9 клас», «Алгебра. 8 клас».
У практиці конкурсних задач з елементарної математики є особливий розділ, який просто називають «Задачі з параметром». Задачі цього розділу традиційно вважаються важкими.
А тому починати підготовку до ЗНО з важких задач цієї теми не бажано. Доцільно починати з простих завдань підручників «Алгебра. 8.», «Алгебра. 9.»
При розв’язанні цих завдань можна використовувати будь-які методи: алгебраїчні, функціональні, графічні, геометричні, логічні,комбінаторні та інші.
Завдання розв’язані у цій статті можуть бути використані для проміжкового контролю з теми «Завдання з параметром».
8.1. Для кожного значення параметра а розв’яжіть нерівність:
Розв’язання:
- Якщо а=0, тоді маємо : . Звідси хєR . Якщо .
- Якщо а=0, тоді нерівність має вид . Звідси х є R.
- Вихідну нерівність запишемо так:
Якщо а=2, тоді нерівність має вид:ох>0. Звідси .
Якщо а>2, тоді х>а+2.
Якщо а<2, тобі х <а+2.
- Вихідну нерівність запишемо так:
.
Якщо а=-3, тоді х є R.
Якщо а<-3, тобі
Якщо а>-3, тоді .
- Запишемо нерівність так:
8.2. Для кожного значення параметра а розв’яжіть нерівність:
Розв’язання:
- Вихідна нерівність рівносильна системі:
- Нерівність (2) рівносильна сукупності :
- Нерівність (3) рівносильна системі:
- Нерівність (4) рівносильна сукупності:
8.3. При яких значеннях параметра а нерівність виконується при всіх х :
Розв’язання:
Якщо а=1, то нерівність має вид: 2-х>0 і виконується не при всіх х.
Якщо а >1, то графіком функції є парабола, вітки якої направлені вгору.
Щоб нерівність виконувалась потрібно, щоб парабола розміщалась вище осі ох.
Виконаємо схематичний малюнок.
Накладаємо умови:
При а<1 умова не виконується.
Відповідь: .
8.4. При яких значеннях параметра а нерівність виконується при всіх х:
?
Розв’язання:
Якщо а=0 маємо: х+1<0. Ця нерівність виконується не при всіх х.
Якщо а <0, тоді графіком функції є парабола, вітки якої направлені вниз.
Щоб нерівність виконувалась при всіх х накладаємо умови:
Якщо а> 0 нерівність не виконується при всіх х.
Відповідь:
9.1. При яких значеннях параметра а не має розв’язків нерівність:
Розв’язання:
Нерівність (1) запишемо так:
Введемо функцію . Графіком цієї функції є парабола, вітки якої направлені вгору. Щоб умова виконувалась, тобто у<0, розмістимо параболу як показано на схематичному малюнку:
Накладемо умову :
Відповідь:
9.2. При яких значеннях параметра а дана нерівність виконується при всіх значеннях х:
Розв’язання:
Розглянемо квадратичну функцію
Графіком цієї функції є парабола. Намалюємо схематичний графік цієї функції, що відповідає умові.
9.3.При яких значеннях параметра а нерівність має єдиний розв’язок.
Розв’язання:
Якщо а=0, то нерівність набуває вигляду і має безліч розв’язків.
Отже, а=0 не підходить.
Для випадку, коли розглянемо квадратичну функцію .
Якщо а<0, то функція приймає невід’ємних значень при нескінченій множині значень аргумента.
Якщо а> , то умова виконується коли парабола розміщується як показано на схематичному графіку:
Отже, шуканими значеннями параметра а є розв’язки системи
Відповідь:
9.4. Для кожного значення а розв’яжіть систему нерівностей:
Розв’язання:
Знайдемо розв’язки нерівності Оскільки тоді розв’язками нерівності є
9.5. Знайдіть множину розв’язків нерівності залежно від значень параметра а:
Розв’язання:
- Нерівність (1) рівносильна системі
- Нерівність (2) рівносильна сукупності:
9.6. Знайдіть усі значення параметра а, при яких система має хоча б один розв’язок.
Розв’язання:
Знайдемо при яких значеннях х .
. Тоді множиною розв’язків нерівності є
Система має хоча б один розв’язок при
Відповідь: .
9.7. Знайдіть множину розв’язків нерівності залежно від значення параметра а:
Розв’язання:
- Нерівність (1) рівносильна системі:
Знайдемо корені рівняння
Розглянемо два випадки: а<3 і а>3.
Якщо а<3, то розв’язком нерівності(1) є проміжок (а;3).
Якщо а>3, то розв’язком системи є (3;а).
- Нерівність (2) рівносильна сукупності
9.8. На Рис.1 зображено графік функції у=f(х) і у=g(х), визначених на проміжку [-4;4]. Знайдіть усі значення параметра а , при яких розв’язком нерівності є проміжок [-3;1].
Розв’язання:
Нерівність (1) перепишемо у вигляді:
На проміжку [-3;1] графік функції g(x) розміщений вище ніж графік функції f(x), тобто на цьому проміжку.
Щоб виконувалась нерівність (2) потрібно:
а+1>0. Звідси а>-1.
Відповідь: а>-1.
9.9. На Рис.2 зображено графік функції у=f(х) на проміжку [-3;7]. Знайдіть усі значення параметра а , при яких множина розв’язком нерівності містить рівно шість цілих чисел.
Розв’язання:
Перепишемо нерівності у вигляді: нерівності . Побудуємо графік функції у=а. Нехай а=1, тоді нерівність виконується при нерівності , тобто умова не виконується.
Нехай а=2, тоді нерівність виконується при нерівності . Отже ,умова виконується.
Умова виконується при всіх нерівності
Відповідь:
9.10. Графік функції у=f(х) , визначеної на проміжку [-6;3], зображено на Рис.3. Знайдіть усі значення параметра а , при яких множина розв’язків нерівності складається рівно з однієї точки числової осі.
Розвязання:
Побудуємо графік функції у=а. Нехай а=3, тоді розвязки нерівності належить проміжку [а;в], тобто умова при цьому не виконується.
Нехай а=4 ,тоді нерівність виконується при х=-3.
Відповідь: 4.
Список використаної літератури:
- Коровкин П.П. Неравенства.-М:Наука, 1996.
- Кушнир И.А. Неравенства. Задачи и решения. – К.: Астарта 1996.
- Матеріали вступних іспитів з математики до Вузів України (1980-2007р.р.).
- Панферов В.С., Сергеев И.Н. Отличники ЕГЭ. Математика. 2010.
- Патрусевич М.Я., Рушник С.Е., Столбов Н.М. ЕГЭ – 2011. Математики задачи с-6.
- Сарана О.А. Математичні олімпіади: просте і складне поруч. К:А.С.К.
- ФИПИ. ЕГЭ-2012-2011-2012-2013. Математика. Самые новые реальные задания.
- Шарова Л.И. Уравнение и неравенства. К: Высшая школа.1981.
- Ященко И.В., Шестаков С.А. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2011-2012-2013 годах. Методические указания.