Готуємося до ЗНО «Система рівнянь з параметром» [ЗАВДАННЯ]

Скачати

Відділ освіти виконкому Жовтоводської міської ради Комунальний заклад освіти ліцей природничо-наукового навчання

 

Готуємося до ЗНО «Система рівнянь з параметром»

Розробники: Вайман В.Л.- вчитель математики, Вайман Р.А.-вчитель  математики

м.Жовті Води, 2013 рік

 

Завдання цієї статті зорієнтовані на учнів 9-11 класів і вибрані з підручників «Алгебра. 9 клас», «Алгебра і початки аналізу. 11 клас.».

Завдання підібрані так, щоб дати можливість учням самостійно готуватися до ЗНО.

Завдання з параметром є дослідження – як теоретичного, так і практичного характеру, – складається з розв’язання окремих задач, і ці задачі не зводяться до простого використання відомих алгоритмів, а вимагають творчої роботи думки, кмітливості.

Ось чому підбір завдань зроблено за системою: від простого до складного.

Матеріали статті можуть бути використані на факультативі та в курсах за вибором.

 

 

9.1. Скільки  розв’язків залежно від значень параметра а має система рівнянь:

 

 

 

Розв’язання:

А)В одній системі координат ХОУ побудуємо графіки функцій:

З Рис.1 маємо:

якщо а<0, то система (а) немає розв’язків;

якщо а=0, то система має один розв’язок;

якщо а >0, то має два розв’язки.

 

Б) В одній системі координат ХОУ побудуємо графіки функцій:

З Рис.2 маємо:

якщо а<1 або , то система немає розв’язків;

якщо а=1 або , то система має чотири розв’язки;

якщо , то система має вісім розв’язків.

 

В) Побудуємо в координатній площині  ХОУ графіки рівнянь:

.

Дізнаємося кількість розв’язків системи в залежності від параметра а :

 

 

 

 

Причому Д=0, якщо  і система має два розв’язки.

 

З Рис.3 маємо:

якщо або , то система немає розв’язків;

якщо або , то система має два розв’язки;

якщо а=2, то система має один розв’язок;

якщо , то має три розв’язки;

якщо , то система має  чотири розв’язки.

 

Г) Побудуємо в координатній площині  ХОУ графіки рівняння:

.

 

З Рис.4 маємо:

якщо або , то система немає розв’язків;

якщо  або а=1, то має чотири  розв’язки;

якщо , то система має  вісім розв’язків.

 

9.2. Знайдіть значення параметра а , при яких система рівнянь  має єдиний розв’язок.

Розв’язання:

Система рівнянь має єдиний розв’язок, якщо .

Розв’яжемо рівняння:

Розв’яжемо рівняння:

Отже, система має один розв’язок при всіх а є R,

 

9.3. При яких значеннях параметра а система рівнянь  має безліч розв’язків?

Розв’язання:

Система рівнянь має безліч розв’язків, якщо

Розв’яжемо рівняння:

Звідси а=8 не задовольняє умову.

Отже, а=-7.

Відповідь: а=-7.

 

9.4. Визначте, при яких значеннях параметра а система рівнянь  має рівно два розв’язки.

Розв’язання:

В одній системі координат ХОУ побудуємо графік рівняння  та схематичний графік рівняння .

Рівняння  запишемо так:

Система рівнянь має два розв’язки, якщо ці дві прямі є дотичними до кола  (див.рис.5)

З рівняння  маємо: . Звідси . Оскільки це рівняння кола, то . У

Відповідь:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Другий спосіб розв’язання системи з параметром:

має рівно два розв’язки.

Розв’язання:

Нехай – розв’язок системи рівнянь, тоді  є теж розв’язками системи.

Розв’язки  різні бо  не задовольняють друге рівняння системи;

Розв’язки різні, бо інакше , що не задовольняє рівняння . За умовою система має два розв’язки, якщо розв’язки збігаються, тобто .

Якщо х=у, то . Тоді пари розв’язків такі:  . Знайдемо при яких а виконується рівняння

Відповідь: .

 

9.5. Знайдіть найменше значення параметра с, при якому система рівнянь  має єдиний розв’язок.

Розв’язання:

В прямокутній системі координат ХОУ побудуємо графік функції  і схематичний графік рівняння:

Графіком функції  є два промені, які виходять з точки (0;-4) і проходять через точки ( рис.6)

Графіком рівняння  є множина кіл з центрами  і радіуси яких дорівнюють 1.

Оскільки система має лише один розв’язок, то цій умові можуть задовольняти кола з центрами , які дотикаються до променів МА і МВ.

І оскільки с – найменше, тоді цій умові задовольняє коло з центром .

– симетричні відносно прямої ОУ.

Відповідь:

 

 

9.6. Знайдіть усі значення параметра а при кожному з яких система рівнянь  має рівно два розв’язки.

Розв’язання:

Скористаємось геометричною інтерпретацією: розглянемо взаємне розміщення графіків функції .

З рисунка 7 маємо: система має два розв’язки, якщо 1<a<5 або якщо графік функції  дотикається до кола.

Дізнаємося при яких значеннях а це можливо.

Оскільки ОМ=ОР+РМ, тоді з ΔРКМ знайдемо чому дорівнює РМ:

.

 

Отже, система рівнянь має рівно два розв’язки при

 

9.7. Знайдіть усі значення параметра а, при кожному з яких система рівнянь: має єдиний розв’язок.

Розв’язання:

Запишемо рівняння (1) у вигляді рівняння кола:

Координати центра (0;-4),

Запишемо рівняння(2) у вигляді рівняння кола:

Система матиме єдиний розв’язок, якщо ці два кола будуть дотикатися зовнішньо або внутрішньо.

Скористаємося геометричною інтерпретацією:

 

 

 

Відповідь: при а=-8, або а=-6,або а=2, або а=4.

 

 

 

 

 

Список використаної літератури:

 

1. Коровкин П.П. Неравенства.-М:Наука, 1996.
2. Кушнир И.А. Неравенства. Задачи и решения. – К.: Астарта 1996.
3. Матеріали вступних іспитів з математики до Вузів України (1980-2007р.р.).
4. Панферов В.С., Сергеев И.Н. Отличники ЕГЭ. Математика. 2010.
5. Патрусевич М.Я., Рушник С.Е., Столбов Н.М. ЕГЭ – 2011. Математики задачи с-6.
6. Сарана О.А. Математичні олімпіади: просте і складне поруч. К:А.С.К.
7. ФИПИ. ЕГЭ-2012-2011-2012-2013. Математика. Самые новые реальные задания.
8. Шарова Л.И. Уравнение и неравенства. К: Высшая школа.1981.
9. Ященко И.В., Шестаков С.А. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2011-2012-2013 годах. Методические указания.