Відділ освіти виконкому Жовтоводської міської ради Комунальний заклад освіти ліцей природничо-наукового навчання
Готуємося до ЗНО «Система рівнянь з параметром»
Розробники: Вайман В.Л.- вчитель математики, Вайман Р.А.-вчитель математики
м.Жовті Води, 2013 рік
Завдання цієї статті зорієнтовані на учнів 9-11 класів і вибрані з підручників «Алгебра. 9 клас», «Алгебра і початки аналізу. 11 клас.».
Завдання підібрані так, щоб дати можливість учням самостійно готуватися до ЗНО.
Завдання з параметром є дослідження – як теоретичного, так і практичного характеру, – складається з розв’язання окремих задач, і ці задачі не зводяться до простого використання відомих алгоритмів, а вимагають творчої роботи думки, кмітливості.
Ось чому підбір завдань зроблено за системою: від простого до складного.
Матеріали статті можуть бути використані на факультативі та в курсах за вибором.
9.1. Скільки розв’язків залежно від значень параметра а має система рівнянь:
Розв’язання:
А)В одній системі координат ХОУ побудуємо графіки функцій:
З Рис.1 маємо:
якщо а<0, то система (а) немає розв’язків;
якщо а=0, то система має один розв’язок;
якщо а >0, то має два розв’язки.
Б) В одній системі координат ХОУ побудуємо графіки функцій:
З Рис.2 маємо:
якщо а<1 або , то система немає розв’язків;
якщо а=1 або , то система має чотири розв’язки;
якщо , то система має вісім розв’язків.
В) Побудуємо в координатній площині ХОУ графіки рівнянь:
.
Дізнаємося кількість розв’язків системи в залежності від параметра а :
Причому Д=0, якщо і система має два розв’язки.
З Рис.3 маємо:
якщо або , то система немає розв’язків;
якщо або , то система має два розв’язки;
якщо а=2, то система має один розв’язок;
якщо , то має три розв’язки;
якщо , то система має чотири розв’язки.
Г) Побудуємо в координатній площині ХОУ графіки рівняння:
.
З Рис.4 маємо:
якщо або , то система немає розв’язків;
якщо або а=1, то має чотири розв’язки;
якщо , то система має вісім розв’язків.
9.2. Знайдіть значення параметра а , при яких система рівнянь має єдиний розв’язок.
Розв’язання:
Система рівнянь має єдиний розв’язок, якщо .
Розв’яжемо рівняння:
Розв’яжемо рівняння:
Отже, система має один розв’язок при всіх а є R,
9.3. При яких значеннях параметра а система рівнянь має безліч розв’язків?
Розв’язання:
Система рівнянь має безліч розв’язків, якщо
Розв’яжемо рівняння:
Звідси а=8 не задовольняє умову.
Отже, а=-7.
Відповідь: а=-7.
9.4. Визначте, при яких значеннях параметра а система рівнянь має рівно два розв’язки.
Розв’язання:
В одній системі координат ХОУ побудуємо графік рівняння та схематичний графік рівняння .
Рівняння запишемо так:
Система рівнянь має два розв’язки, якщо ці дві прямі є дотичними до кола (див.рис.5)
З рівняння маємо: . Звідси . Оскільки це рівняння кола, то . У
Відповідь:
Другий спосіб розв’язання системи з параметром:
має рівно два розв’язки.
Розв’язання:
Нехай – розв’язок системи рівнянь, тоді є теж розв’язками системи.
Розв’язки різні бо не задовольняють друге рівняння системи;
Розв’язки різні, бо інакше , що не задовольняє рівняння . За умовою система має два розв’язки, якщо розв’язки збігаються, тобто .
Якщо х=у, то . Тоді пари розв’язків такі: . Знайдемо при яких а виконується рівняння
Відповідь: .
9.5. Знайдіть найменше значення параметра с, при якому система рівнянь має єдиний розв’язок.
Розв’язання:
В прямокутній системі координат ХОУ побудуємо графік функції і схематичний графік рівняння:
Графіком функції є два промені, які виходять з точки (0;-4) і проходять через точки ( рис.6)
Графіком рівняння є множина кіл з центрами і радіуси яких дорівнюють 1.
Оскільки система має лише один розв’язок, то цій умові можуть задовольняти кола з центрами , які дотикаються до променів МА і МВ.
І оскільки с – найменше, тоді цій умові задовольняє коло з центром .
– симетричні відносно прямої ОУ.
Відповідь:
9.6. Знайдіть усі значення параметра а при кожному з яких система рівнянь має рівно два розв’язки.
Розв’язання:
Скористаємось геометричною інтерпретацією: розглянемо взаємне розміщення графіків функції .
З рисунка 7 маємо: система має два розв’язки, якщо 1<a<5 або якщо графік функції дотикається до кола.
Дізнаємося при яких значеннях а це можливо.
Оскільки ОМ=ОР+РМ, тоді з ΔРКМ знайдемо чому дорівнює РМ:
.
Отже, система рівнянь має рівно два розв’язки при
9.7. Знайдіть усі значення параметра а, при кожному з яких система рівнянь: має єдиний розв’язок.
Розв’язання:
Запишемо рівняння (1) у вигляді рівняння кола:
Координати центра (0;-4),
Запишемо рівняння(2) у вигляді рівняння кола:
Система матиме єдиний розв’язок, якщо ці два кола будуть дотикатися зовнішньо або внутрішньо.
Скористаємося геометричною інтерпретацією:
Відповідь: при а=-8, або а=-6,або а=2, або а=4.
Список використаної літератури:
- Коровкин П.П. Неравенства.-М:Наука, 1996.
- Кушнир И.А. Неравенства. Задачи и решения. – К.: Астарта 1996.
- Матеріали вступних іспитів з математики до Вузів України (1980-2007р.р.).
- Панферов В.С., Сергеев И.Н. Отличники ЕГЭ. Математика. 2010.
- Патрусевич М.Я., Рушник С.Е., Столбов Н.М. ЕГЭ – 2011. Математики задачи с-6.
- Сарана О.А. Математичні олімпіади: просте і складне поруч. К:А.С.К.
- ФИПИ. ЕГЭ-2012-2011-2012-2013. Математика. Самые новые реальные задания.
- Шарова Л.И. Уравнение и неравенства. К: Высшая школа.1981.
- Ященко И.В., Шестаков С.А. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2011-2012-2013 годах. Методические указания.