Завдання ІІ етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики 2017

Завдання ІІ етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики (Івано-Франківська область) 2017 рік ви можете скачати у форматі pdf (посилання на скачування розміщене в кінці статті)

 6 клас

1.Голодний П’ятачок і Вінні-Пух з’їли торт і стали ситими. Відомо, що голодний Вінні-Пух легший від ситого П’ятачка, а ситий Вінні-Пух важить стільки ж, скільки два голодних П’ятачка. Що важить більше: торт чи голодний П’ятачок? Чому?

 

2.Який із двох виразів більший:

1		7		1		31		1		127		1		511
4		8		16		32		64		128		256		512	чи

3 1 15 1 63 1 255 1 4 8 16 32 64 128 256 512

?

 

3. Підприємець Петро купив на оптовому ринку партію ручок і пропонує покупцям або одну ручку за 5 гривень, або три ручки за 10 гривень. Від кожного покупця він отримує однаковий прибуток. Яка оптова ціна ручки?

 

4. У родині 4 особи. Якщо Марійці підвищити стипендію удвічі, то загальний прибуток усієї родини зросте на 5%, якщо замість цього мамі підвищити зарплату удвічі, то – на 15%, а якщо ж підвищити удвічі зарплату татові, то – на 25%. На скільки відсотків зросте прибуток усієї родини, якщо підвищити удвічі пенсію дідусеві?

 

5. Складіть із цифр1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (кожну цифру можна використовувати лише один раз) три трицифрові числа так, щоб сума двох чисел дорівнювала третьому, і при цьому в одного з цих чисел цифра десятків була 8. Достатньо навести приклад.

 

На виконання роботи відводиться 4 години.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів не дозволяється

 

ІІ етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики.

 7 клас

1. В двох цистернах було порівну води. Кількість води в перший цистерні спочатку зменшили на 10 %, а потім збільшили на 10 %. Кількість води у другій цистерні спочатку збільшили на 10 % , а потім зменшили на 10 %. В який цистерні стало більше води?

 

2. Цифру 9, із якої починається трицифрове число, написали в кінці числа. Нове число на 216 менше, ніж початкове. Яке було початкове число?

 

3. У Нептуна служать восьминоги у яких шість, сім, або вісім ніг. Ті, що мають 7 ніг, завжди брешуть, а ті, що мають 6 або 8 ніг завжди говорять правду. Зустрілися чотири восьминоги. Синій сказав: «Разом у нас 28 ніг», зелений: «Разом у нас 27 ніг», жовтий: «Разом у нас 26 ніг», червоний:

«Разом у нас 25 ніг». У кого скільки ніг?

 

4.Відновити запис множення		*	2	*
		*		7
		*	*	*
*	*	*	*
*	*	*	*	8

 

 

 

5. Парк має форму квадрата, до якого приєднали квадратну ділянку

(мал.1 ). При цьому периметр парку збільшився на 10%. На скільки відсотків збільшилась площа парку?

 

 

 

 

Мал.1

На виконання роботи відводиться 4 години.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів не дозволяється.

 

8  клас

 

1.У клітці було 5 папуг. Їх середня ціна становить 6000 доларів. Одного разу при чистці клітки втік один найгарніший папуга. Середня ціна тих, що залишилися, 5000 доларів. Визначте ціну папуги, який втік із клітки.

 

2. Довести, що вираз (х–1)∙(х–3)∙(х–4)∙(х–6)+10 набуває додатних значень при всіх значеннях х.

 

 

3. Чи існує трицифрове число, яке дорівнює добутку своїх цифр?

 

 

4.Чому дорівнює x-у, якщо

x    12

22         32…

2018 2 , у

1 3   2 4

3 5 …

2017

2019?

 

5. На гіпотенузі АВ прямокутного трикутника АВС вибрана точка К, для якої СК = ВС. Відрізок СК перетинає бісектрису АМ в її середині. Знайти кути трикутника АВС.

 

 

На виконання роботи відводиться 4 години.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів не дозволяється

 

9  клас

1.В лісі росли сосни, кедри та ялинки, причому на всіх деревах було порівну шишок. Подув легкий вітерець, і декілька шишок упало на землю. виявилось , що з кожної сосни упало рівно11% її шишок, з кожного кедра

– рівно 54%, а з кожної ялинки – рівно 97%. При цьому з усіх дерев разом упало рівно 30% усіх шишок. Доведіть, що кількість дерев у лісі ділиться на 43.

 

2. Розв’язати рівняння: x²∙(x – 2)² – 3∙(x – 1)² –1= 0

 

 

3. Від’ємні числа   a,   b,   c,   d   задовольняють такі  умови: a    b    2c ,

a         b    d , b    d      . Яке число більше: a чи c?

 

4. У супермаркеті три поверхи, переміщуватися між якими можна тільки ліфтом. Дослідження відвідуваності поверхів супермаркету показало, що з початку робочого дня і до закриття магазину:

а) з покупців, що входять у ліфт на другому поверсі, половина їде на перший поверх, а половина – на третій;

б) серед покупців, які виходять з ліфта на третьому поверсі, менше третини. На який поверх покупці частіше їздили з першого поверху, на другий чи на третій?

 

5. Два квадрата розташовані так, як показано на малюнку. Нехай точка М – середина відрізка АВ, а точки О1 і О2 – центри квадратів. Доведіть, що відрізки МО1 і МО2 рівні і знайдіть кут між ними.

На виконання роботи відводиться 4 години.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів не дозволяється

 

ІІ етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики.

10  клас

1. Числа

5x    y, 2x

3y i   x

2y   утворюють      арифметичну

 

прогресію,   а   числа   (y+1)²,   x∙y+1 і  (x–1)²       утворюють геометричну прогресію. Знайти х та у.

 

3. Обчисліть значення виразу: .
4. Знайти дійсні    значення    параметра     a ,    при    яких    нерівність

x²    a   1 x

a    1    0

справедлива    для    всіх    тих    значень    х,    які задовольняють нерівність x       .

4. Чи існують такі натуральні числа a, b і c, що у кожного з рівнянь

ax²+bx+c = 0, ax²+bx–c = 0, ax²–bx+c = 0, ax²–bx–c = 0 обидва кореня – цілі?

5. На стороні квадрата зовні побудовано прямокутний трикутник, гіпотенуза якого збігається зі стороною квадрата. Довести, що бісектриса прямого кута цього трикутника поділяє площу квадрата навпіл.

 

На виконання роботи відводиться 4 години.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів не дозволяється

 

ІІ етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики.

 11 клас

 

1. Вкладник поклав 2017 грн. в банк на 10 років. В якому випадку він отримає більше грошей: якщо раз в рік йому нараховуватимуть 12 % від суми на рахунку чи якщо кожний місяць йому нараховуватимуть 1% від суми на рахунку ?

 

2. Перша цифра деякого шестицифрового числа 1. Якщо її поставити в кінець числа (інші цифри залишаються без змін), то отримане число в тричі більше за початкове число. Знайдіть ці числа.

 

 

 

3.Розв’язати рівняння:

2(cos2 2017 x

sin 2 2017 x)

22018x

2 2018x .

4. Доведіть нерівність:

• b c
• c a

a     b     c

c     a     b

9 , a,b,c – додатні числа.

5.Основою піраміди є прямокутник ABCD , причому AB=a, BC=b. Бічне ребро SD перпендикулярне до площини основи і має довжину c . Знайти відстань між прямими AD і SB.

 

На виконання роботи відводиться 4 години.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів не дозволяється.

 

Скачати завдання ІІ етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики 2017: джерело 1