Завдання та вказівки до розв’язання завдань ІІ етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики в 2017-2018 н.р.

Завдання другого етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

6 клас

 

1. Розставити між деякими з цифр 1111111 знаки «+» або «−» таким чином, щоб вийшов вираз з сумою 100.
2. Знайдіть найменше семицифрове число, яке ділиться націло на 9 та має усі різні цифри.
3. Підручники становлять  всіх книжок шкільної бібліотеки, а підручники з математики −  усіх підручників. Яку частину всіх книжок, що є в бібліотеці, становлять підручники з математики?
4. На столі лежать в ряд чотири фігури: трикутник, круг, прямокутник і ромб. Вони пофарбовані в різні кольори: червоний, синій, жовтий, зелений. Відомо, що червона фігура лежить між синьою і зеленою; справа від жовтої фігури лежить ромб; круг лежить правіше і трикутника і ромба; трикутник лежить не з краю; синя і жовта фігури лежать не рядом. Визначте, в якому порядку лежать фігури і якого вони кольору.
5. Яку найбільшу кількість прямокутників розміром  можна вирізати з квадрату ?

 

На виконання роботи відводиться 3 години.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів та інших електронних засобів заборонено.

 

Завдання другого етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

6 клас

 

1. Розставити між деякими з цифр 1111111 знаки «+» або «−» таким чином, щоб вийшов вираз з сумою 100.
2. Знайдіть найменше семицифрове число, яке ділиться націло на 9 та має усі різні цифри.
3. Підручники становлять  всіх книжок шкільної бібліотеки, а підручники з математики −  усіх підручників. Яку частину всіх книжок, що є в бібліотеці, становлять підручники з математики?
4. На столі лежать в ряд чотири фігури: трикутник, круг, прямокутник і ромб. Вони пофарбовані в різні кольори: червоний, синій, жовтий, зелений. Відомо, що червона фігура лежить між синьою і зеленою; справа від жовтої фігури лежить ромб; круг лежить правіше і трикутника і ромба; трикутник лежить не з краю; синя і жовта фігури лежать не рядом. Визначте, в якому порядку лежать фігури і якого вони кольору.
5. Яку найбільшу кількість прямокутників розміром  можна вирізати з квадрату ?

 

На виконання роботи відводиться 3 години.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів та інших електронних засобів заборонено.

 

Завдання другого етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

7 клас

 

1. Знайдіть найменше семицифрове число, яке ділиться націло на 9 та має усі різні цифри.
2. Магазин придбав олівці в коробках у виробника за певну ціну. Тепер він їх продає або по 10 гривень за одну коробку, або по 20 гривень за 3 коробки. Виявилось, що прибуток при продажі однієї коробки олівців та при продажі трьох коробок олівців – однаковий. За якою ціною магазин придбав олівці у виробника?
3. На першому курсі університету навчаються 40 % дівчат та 60 % юнаків. Відомо, що 20 % юнаків не люблять математичний аналіз, а дівчата усі його люблять. Яке відношення кількості дівчат до юнаків, хто любить математичний аналіз?
4. Запишіть 7 послідовних натуральних чисел, щоб серед цифр в їх запису було рівно 19 трійок.
5. Яку найбільшу кількість прямокутників розміром можна вирізати з квадрату ?

 

На виконання роботи відводиться 3 години.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів та інших електронних засобів заборонено.

 

 

Завдання другого етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

7 клас

 

1. Знайдіть найменше семицифрове число, яке ділиться націло на 9 та має усі різні цифри.
2. Магазин придбав олівці в коробках у виробника за певну ціну. Тепер він їх продає або по 10 гривень за одну коробку, або по 20 гривень за 3 коробки. Виявилось, що прибуток при продажі однієї коробки олівців та при продажі трьох коробок олівців – однаковий. За якою ціною магазин придбав олівці у виробника?
3. На першому курсі університету навчаються 40 % дівчат та 60 % юнаків. Відомо, що 20 % юнаків не люблять математичний аналіз, а дівчата усі його люблять. Яке відношення кількості дівчат до юнаків, хто любить математичний аналіз?
4. Запишіть 7 послідовних натуральних чисел, щоб серед цифр в їх запису було рівно 19 трійок.
5. Яку найбільшу кількість прямокутників розміром можна вирізати з квадрату ?

 

На виконання роботи відводиться 3 години.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів та інших електронних засобів заборонено.

 

Завдання другого етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

8 клас

 

1. Магазин придбав олівці в коробках у виробника за певну ціну. Тепер він їх продає або по 10 гривень за одну коробку, або по 20 гривень за 3 коробки. Виявилось, що прибуток при продажі однієї коробки олівців та при продажі трьох коробок олівців – однаковий. За якою ціною магазин придбав олівці у виробника?
2. Яку найбільшу кількість прямокутників розміром  можна вирізати з квадрату ?
3. Два автомобілі знаходяться на одній дорозі на відстані 200 км, один рухається зі швидкістю 60 км/год, а інший – 40 км/год. Через який час відстань між ними може знову стати 200 км? Вкажіть усі можливі відповіді.
4. На стороні  трикутника  позначено точку  так, що  Доведіть, що кола, вписані в трикутники  і  дотикаються.
5. Є 9 гирь вагою 1 г, 2 г, …, 9 г. Андрій та Олеся по черзі беруть гирі і кладуть їх на ваги зі стрілкою, не знімаючи попередні. Якщо після чергової гирі стрілка покаже вагу більше 25 г, то той, хто поклав цю гирю, програв. Хто може перемогти в цій грі, якщо кожний намагається перемогти та перший хід робить Андрій?

 

На виконання роботи відводиться 3 години.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів та інших електронних засобів заборонено.

 

 

 

Завдання другого етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

8 клас

 

1. Магазин придбав олівці в коробках у виробника за певну ціну. Тепер він їх продає або по 10 гривень за одну коробку, або по 20 гривень за 3 коробки. Виявилось, що прибуток при продажі однієї коробки олівців та при продажі трьох коробок олівців – однаковий. За якою ціною магазин придбав олівці у виробника?
2. Яку найбільшу кількість прямокутників розміром  можна вирізати з квадрату ?
3. Два автомобілі знаходяться на одній дорозі на відстані 200 км, один рухається зі швидкістю 60 км/год, а інший – 40 км/год. Через який час відстань між ними може знову стати 200 км? Вкажіть усі можливі відповіді.
4. На стороні  трикутника  позначено точку  так, що  Доведіть, що кола, вписані в трикутники  і  дотикаються.
5. Є 9 гирь вагою 1 г, 2 г, …, 9 г. Андрій та Олеся по черзі беруть гирі і кладуть їх на ваги зі стрілкою, не знімаючи попередні. Якщо після чергової гирі стрілка покаже вагу більше 25 г, то той, хто поклав цю гирю, програв. Хто може перемогти в цій грі, якщо кожний намагається перемогти та перший хід робить Андрій?

 

На виконання роботи відводиться 3 години.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів та інших електронних засобів заборонено.

 

Завдання другого етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

9 клас

1. Яку найбільшу кількість прямокутників розміром  можна вирізати з квадрату ?
2. Чи існують натуральні числа  для яких виконується рівність ?
3. Два автомобілі знаходяться на одній дорозі на відстані 200 км, один рухається зі швидкістю 60 км/год, а інший – 40 км/год. Через який час відстань між ними може знову стати 200 км? Вкажіть усі можливі відповіді.
4. На стороні  трикутника  позначено точку  так, що  Доведіть, що кола, вписані в трикутники  і  дотикаються.
5. Задано ромб, у якого усі сторони та одна з діагоналей рівні 6 см. Всередині або на сторонах цього ромба вибирають довільним чином 9 точок. Доведіть, що принаймні дві з них знаходяться на відстані не більшій від 3 см.

 

 

На виконання роботи відводиться 4 години.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів та інших електронних засобів заборонено.

 

 

 

Завдання другого етапу Всеукраїнської учнівської  олімпіади з математики

9 клас

1. Яку найбільшу кількість прямокутників розміром  можна вирізати з квадрату ?
2. Чи існують натуральні числа  для яких виконується рівність ?
3. Два автомобілі знаходяться на одній дорозі на відстані 200 км, один рухається зі швидкістю 60 км/год, а інший – 40 км/год. Через який час відстань між ними може знову стати 200 км? Вкажіть усі можливі відповіді.
4. На стороні  трикутника  позначено точку  так, що  Доведіть, що кола, вписані в трикутники  і  дотикаються.
5. Задано ромб, у якого усі сторони та одна з діагоналей рівні 6 см. Всередині або на сторонах цього ромба вибирають довільним чином 9 точок. Доведіть, що принаймні дві з них знаходяться на відстані не більшій від 3 см.

 

 

На виконання роботи відводиться 4 години.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів та інших електронних засобів заборонено.

 

 

Завдання другого етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

10 клас

1. Порівняйте між собою числа: ,  та .
2. Чи існують натуральні числа  для яких виконується рівність ?
3. Ненульові числа  задовольняють умови:  Чому може дорівнювати значення виразу
4. На нараду в міністерство для обговорення питань олімпіад запросили 30 заслужених вчителів України з математики, фізики, хімії та біології. Серед запрошених фізиків та біологів разом виявилось удвічі менше ніж математиків, а фізиків та хіміків разом удвічі більше ніж біологів. Скільки на зустріч запросили математиків, якщо вчителів з кожного предмету була різна кількість?
5. У паралелограмі  проведено висоти  і  на сторони  і  відповідно, які ділять цей паралелограм на три частини рівної площі. На промені  за вершину  відкладається відрізок . Пряма  перетинає відрізок  у точці . Знайдіть відношення .

 

На виконання роботи відводиться 4 години.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів та інших електронних засобів заборонено.

 

 

Завдання другого етапу Всеукраїнської учнівської  олімпіади з математики

10 клас

 

1. Порівняйте між собою числа: ,  та .
2. Чи існують натуральні числа  для яких виконується рівність ?
3. Ненульові числа  задовольняють умови:  Чому може дорівнювати значення виразу
4. На нараду в міністерство для обговорення питань олімпіад запросили 30 заслужених вчителів України з математики, фізики, хімії та біології. Серед запрошених фізиків та біологів разом виявилось удвічі менше ніж математиків, а фізиків та хіміків разом удвічі більше ніж біологів. Скільки на зустріч запросили математиків, якщо вчителів з кожного предмету була різна кількість?
5. У паралелограмі  проведено висоти  і  на сторони  і  відповідно, які ділять цей паралелограм на три частини рівної площі. На промені  за вершину  відкладається відрізок . Пряма  перетинає відрізок  у точці . Знайдіть відношення .

 

На виконання роботи відводиться 4 години.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів та інших електронних засобів заборонено.

 

Завдання другого етапу Всеукраїнської учнівської  олімпіади з математики

11 клас

1. Порівняйте між собою числа: ,  та .
2. Розв’язати рівняння:
3. Знайдіть усі такі функції , що визначені на множині дійсних чисел, які для довільних дійсних  задовольняють рівність: .
4. У паралелограмі  проведено висоти  і  на сторони  і  відповідно, які ділять цей паралелограм на три частини рівної площі. На промені  за вершину  відкладається відрізок . Пряма  перетинає відрізок  у точці . Знайдіть відношення .
5. Є таблиця, що має два рядки та 1007 стовпчиків. У перший ряд розставлені зліва направо у порядку зростання натуральні числа від 1 до 1007, а у другий ряд так само у порядку зростання натуральні числа від 1008 до 2014. Для якої кількості стовпчиків має місце властивість – число у другому рядку ділиться на число у першому рядку?

 

На виконання роботи відводиться 4 години.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів та інших електронних засобів заборонено.

 

 

Завдання другого етапу Всеукраїнської учнівської  олімпіади з математики

11 клас

1. Порівняйте між собою числа: ,  та .
2. Розв’язати рівняння:
3. Знайдіть усі такі функції , що визначені на множині дійсних чисел, які для довільних дійсних  задовольняють рівність: .
4. У паралелограмі  проведено висоти  і  на сторони  і  відповідно, які ділять цей паралелограм на три частини рівної площі. На промені  за вершину  відкладається відрізок . Пряма  перетинає відрізок  у точці . Знайдіть відношення .
5. Є таблиця, що має два рядки та 1007 стовпчиків. У перший ряд розставлені зліва направо у порядку зростання натуральні числа від 1 до 1007, а у другий ряд так само у порядку зростання натуральні числа від 1008 до 2014. Для якої кількості стовпчиків має місце властивість – число у другому рядку ділиться на число у першому рядку?

 

На виконання роботи відводиться 4 години.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів та інших електронних засобів заборонено.

 

Скачати завдання та вказівки до розв’язання завдань ІІ етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики: 6 клас, 7 клас, 8 клас, 9 клас, 10 клас, 11 клас, відповіді