Завдання та відповіді Всеукраїнської олімпіади з математики (2019) (Львівська обл.)

ВСЕУКРАЇНСЬКА ОЛІМПІАДА З МАТЕМАТИКИ

II етап

Оригінальні файли (завдання, відповіді, критерії) із всеукраїнської олімпіади з математики ви можете завантажити у форматі pdf (посилання на скачування розміщене в кінці сторінки).

Переглянути олімпіадні завдання з математики онлайн

6 клас

1. Сума 2019 натуральних чисел рівна 2020. Якою стане сума, якщо самий більший доданок збільшити в десять разів? Відповідь обґрунтуйте.
2. Робінзон Крузо кожного другого дня поповнює запаси води з джерела, кожний третій день збирає фрукти і кожний п’ятий день ходить на полювання. Сьогодні 13 вересня. У Робінзона важкий день: він повинен зробити всі три справи. Коли у Робінзона буде наступний важкий день?
3. Кульбабка зранку розпускається. Два дні цвіте жовтим, на третій день зранку стає білою, а ввечері облітає. Вчора вдень на галявині було 20 жовтих і 14 білих кульбабок, а сьогодні 15 жовтих і 11 білих.

а) Скільки жовтих кульбабок було на галявині позавчора? б) Скільки білих кульбабок буде на галявині завтра?

4. Павук сплів павутиння, і в кожний з його 12 вузликів потрапили по одній мушці або одному комару. При цьому, кожна комаха виявилась сполученою відрізком павутиння рівно з двома комарами.

а) Намалюйте приклад, як це могло б бути (записавши всередині вузликів літери М і К).

б) Скільки мушок і скільки комарів попалися в павутиння? Відповідь обґрунтуйте.

5. Василь та Петро живуть у горах і полюбляють ходити один до одного у гості. При цьому у гору вони піднімаються із швидкістю 3 км/год, а з гори спускаються із швидкістю 6 км/год (горизонтальних ділянок дороги немає). Василь порахував, що до Петра він йде 2 години 30 хвилин, а назад 3 години 30 хвилин. Яка відстань між будинками Василя і Петра?

7 клас

1. Ньют хоче перевезти дев’ять фантастичних звірів вагою 2, З, 4, 5, 6, 7, 8, 9 і 10 кг в трьох валізах по три звіра у кожній. Кожна валіза повинна важити менше 20 кг. Якщо вага якогось звіра буде ділитися на вагу іншого звіра з тієї ж валізи, то вони поб’ються. Як Ньюту розподілити звірів по валізах, щоб ніхто не побився?

2. Знайти останні дві цифри числа 212019 — ц2020.

3. Чотири сьомих класи поїхали на екскурсію. Коли 7А і 7Б пішли в музей, а 7В і 7Г – обідати в кафе, Марія Петрівна порахувала, що у музеї на 15 семикласників більше, ніж у кафе. А коли вечором 7 А і 7В пішли у парк, а 7Б і 7Г – у театр, Марія Петрівна нарахувала у парку на 8 семикласників менше, ніж у театрі. Чи вміє Марія Петрівна рахувати?

4. Знайти всі двоцифрові числа, які збільшуються у 8,5 разів, якщо між їх цифрами вписати 0.

5. Назар накреслив на листку в клітинку прямокутник (по І І І І І І І І -клітинкам) і намалював в ньому картинку. Після цього він 11 11

намалював навколо картинки рамку шириною в одну -1 І –

клітинку (див. рис.). Виявилось, що площа картинки рівна -І ^ I-

площі рамки. Які розміри могла мати Назарова картинка? -1 І –

(Перелічіть всі можливі варіанти, та доведіть, що інших ] \ \ \ \ \ \ \ -немає.)

 

8 клас

1. Після повернення цирку з гастролей, знайомі вирішили порозпитувати Лева Львовича про «пасажирів» його автофургона: «Тигри були?» -«Так, їх було у сім разів більше, ніж не тигрів». «А мавпи були?» – «Так, їх було у сім разів менше, ніж не мавп». «А леви були?» Дайте відповідь за Лева Львовича.
2. Спростіть вираз:

111

(а — 1 )(а — 2) (а — 2)(а — 3) (а — 3)(а — 4)
3. Два рівних трикутники містяться всередині квадрата, як показано на рисунку. Знайти їх кути.
4. Частина графіка лінійної функції, що розташована у другій координатній чверті, разом з осями координат утворюють трикутник. У скільки разів зміниться його площа, якщо кутовий коефіцієнт функції збільшити у два рази, а вільний член в два рази зменшити?
5. Для проходження квест-кімнати дітям потрібно було визначити годину, яку показував «зачарований» годинник (див. рисунок). Він відрізняється від звичайного годинника тим, що на циферблаті відсутні цифри, і взагалі не зрозуміло, де у годинника верх; та ще й годинна, хвилинна та секундна стрілки мають однакову довжину. Яку годину показував годинник?

Стрілки А і Б на рисунку дивляться рівно на позначки, а стрілка В трошки не дійшла до позначки.

 

9 клас

1. На рисунку зображено графік зведеного квадратного \

тричлена (вісь ординат стерлась, відстань між \ /

сусідніми відміченими точками рівна 1) Чому рівний \ ^ /

дискримінант цього тричлена? Відповідь обґрунтуйте.
2. Доведіть, що при всіх додатних х та у виконується нерівність

*6 у6

Х4+у4 < — + —

уі Х1

3. В трапеції АВСИ основа АО в чотири рази більша, ніж ВС. Пряма, що проходить через середину діагоналі В Б і паралельна АВ, перетинає відрізок СБ в точці К. Знайдіть відношення /Ж: КС.
4. Квадрат 8×8 розрізали на квадрати 2 X 2 і прямокутники 1×4. При цьому загальна довжина розрізів виявилась рівною 54. Скільки фігурок кожного виду отримали?

5. Гарі і Герміона розклали на столі 13 різних гральних карт. Кожна карта лежить в одному з двох положень: сорочкою вверх або сорочкою вниз. Гравці повинні по черзі перевертати по одній карті. Програє той гравець, після ходу якого повториться якась з попередніх комбінацій (включаючи початкову). Перший хід зробила Герміона. Хто зможе виграти незалежно від того, як буде грати суперник? Відповідь поясніть.

 

10 клас

1. Графік квадратичної функції у = ах2 + с перетинає осі координат у вершинах правильного трикутника. Знайти ас.

2. Чи існує таке натуральне число п, більше за 1, щоб значення виразу
3. З вершини тупого кута А трикутника АВС опущена висота АО. Коло з центром у точці Б і радіусом В А, перетинає сторони АВ і АС у точках М і N відповідно. Знайдіть АС, якщо АВ = с, АМ = т, АЫ = п.
4. У просторі (але не в одній площині) розташовані шість різних точок: А, В, С, Б, Е, F. Відомо, що відрізки АВ і БЕ, ВС і ЕР, СБ і РА попарно паралельні. Доведіть, що ці ж відрізки попарно рівні.
5. 100 ввімкнутих і 100 вимкнених ліхтариків випадковим чином розкладені у дві коробки. У кожного ліхтарика є кнопка, яка виключає ліхтарик, який світиться і включає ліхтарик, який не світиться. Ваші очі зав’язані, і Ви не можете бачити, чи світиться ліхтарик. Але Ви можете перекладати ліхтарики з коробки в коробку і натискати на їх кнопки. Придумайте спосіб, як досягнути того, щоб ліхтариків, які світяться в обох коробках було порівну. Відповідь обґрунтуйте.

 

11 клас

1. Знайти log175 60, якщо log5 7 = а і log12 84 = b.

2. Визначити знак числа (cos(cosl) — cosl)(sin(sinl) — sinl).

3. При яких значеннях х і у справджується рівність

х2 + (1 -у)2 + (х -у)2 = І?

4. Чи існує тетраедр ABCD, у якому AB = АС = AD = ВС, а суми плоских куиів при кожній вершині В і С рівні по 150°?

5. 100 ввімкнутих і 100 вимкнених ліхтариків випадковим чином розкладені у дві коробки. У кожного ліхтарика є кнопка, яка виключає ліхтарик, який світиться і включає ліхтарик, який не світиться. Ваші очі зав’язані, і Ви не можете бачити, чи світиться ліхтарик. Але Ви можете перекладати ліхтарики з коробки в коробку і натискати на їх кнопки. Придумайте спосіб, як досягнути того, щоб ліхтариків, які світяться в обох коробках було порівну. Відповідь обґрунтуйте.

Скачати матеріали з Всеукраїнської олімпіади з математики: завдання , відповіді , критерії