23 та 30 січня 2022 року відбувся ІІІ етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики.
Тестові завдання ІІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики у місті Києві (2021–2022 навчальний рік)
«Старайся легко приймати те, що неминуче».
Платон
7 клас
- Відомо, що у прямокутника довжини сторін вимірюються цілим числом сантиметрів, а його периметр дорівнює см. Чому дорівнює площа цього прямокутника у квадратних сантиметрах?
- Яку найбільшу кількість шахових тур можна поставити на дошці , щоб жодні дві не атакували одна одну? Шахова тура атакує усі поля тієї вертикалі та горизонталі, в якій вона розташована.
- Відомо, що . Яке значення може приймати вираз
- Усі трицифрові числа у порядку зростання виписані як одне величезне багатоцифрове число: . Яка цифра у такому числі розташована на -й позиції?
8 клас
- У Петрика в сумці є шкарпетки білого кольору, – синього кольору та шкарпетки чорного кольору. Він навмання виймає їх по одній. Скільки щонайменше шкарпеток йому треба дістати, щоб гарантовано була витягнута принаймні одна однокольорова пара шкарпеток?
- Усі чотирицифрові числа у порядку зростання виписані як одне величезне багатоцифрове число: . Яка цифра у такому числі розташована на -й позиції?
- Вираз записали у вигляді правильного нескоротного дробу. Чому дорівнює чисельник цього дробу?
9 клас
- На яке найменше натуральне число слід домножити число , щоб число мало непарну кількість дільників?
- Навколо прямокутної клумби завбільшки побудована доріжка однакової ширини, як це показано на рис. 2. Відомо, що зовнішній прямокутник, що оточує доріжку, має сторони, одна з яких удвічі більша за іншу. Чому дорівнює площа доріжки?
- У кубі , що складений з кубиків пофарбували зовнішню поверхню. Після цього його знову розібрали на кубиків . У скількох з них буде пофарбована рівно одна грань?
- Вираз записали у вигляді правильного нескоротного дробу. Чому дорівнює чисельник цього дробу?
10 клас
- Яку найбільшу кількість шахових коней можна поставити на шахівницю таким чином, щоб жодні два з них не атакували один одного?
- У опуклому чотирикутнику проведені діагоналі, що перетинаються в точці . Чому дорівнює площа трикутника , якщо відомі площі таких трикутників: , та .
- Скільки існує пар натуральних чисел, для яких сума чисел цієї пари дорівнює їх найменшому спільному кратному?
- Для скількох дійсних значень число є натуральним?
11 клас
- Для якого найменшого додатного значення рівняння має принаймні один корінь?
- Для якого найбільшого натурального числа простим числом є ?
- Всередині опуклого чотирикутника вибрана точка . Ця точка з’єднана з серединами сторін чотирикутника . Відомі площі трьох чотирикутників, що при цьому утворилися, як це показано на рис. 3. Чому дорівнює – площа четвертого чотирикутника?
- На зібранні олігархів вирішили виділити кошти на благодійність. Вони випадковим чином отримали номери від до . Після цього вони по черзі йшли до банку, дивилися на зібрану суму, збільшували її удвічі та додавали ще гривню. Перший олігарх починав з нульового рахунку. Яка сума була зібрана по завершенні акції?
Завантажити: Завдання та відповіді ІІІ (міського) етапу олімпіади з математики (1 тур) , 2 тур