З даною шпаргалкою ви завжди будете мати під рукою основні формули, теореми з алгебре та геометрії, що допоможе вам успішно скласти контрольні роботи з державної підсумкової атестації з математики. Шпаргалка доступна у форматі pdf (посилання на скачування розміщене в кінці сторінки) або переглянути в режимі онлайн на даній сторінці.
Читати шпаргалку з математики для учнів 9 класів онлайн (дочекайтесь повної загрузки сторінки …)
НСД І НСК
Увага! У тексті пропущено формули, так як формули не можливо точно опублікувати текстом на сторінці. Тому користуйтесь онлайн переглядом або скачуйте шпаргалку у форматі pdf.
Найбільшим спільним дільником (НСД) кількох натуральних чисел називають найбільше число, на яке дані числа діляться без остачі.
Найменшим спільним кратним (НСК) кількох натуральних чисел називають найменше число, яке ділиться без остачі на кожне з даних чисел.
Дії над звичайними дробами
- Додавання (віднімання)
- Множення
- Ділення
Модуль дійсного числа
Модулем (абсолютною величиною) дійсного числа а називають це саме число, якщо воно невід’ємне (а > 0), і протилежне йому число, якщо воно від’ємне (а < 0)
Множення і ділення додатних і від ’ємних чисел
Добуток (частка) двох чисел з різними знаками є число від’ємне; модуль добутку (частки) дорівнює добутку (частці) модулів цих чисел.
Добуток (частка) двох від’ємних чисел є число додатне; модуль добутку (частки) дорівнює добутку (частці) модулів цих чисел.
Властивості дій над числами
- Властивості додавання
- Властивості множення
Пропорція
Пропорцією називають рівність двох часток (відношень)
Основна властивість пропорції: добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх її членів.
Масштаб
Масштаб— це відношення відстані на карті до відповідної відстані на місцевості.
Степінь з цілим показником
Формули скороченого множення
Умова рівності дробу нулю
Дріб — дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю.
Раціональні вирази
Властивості арифметичного квадратного кореня
Квадратне рівняння
Теорема Вієта. Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів вільному члену.
Теорема, обернена до теореми Вієта. Якщо сума і добуток чисел т і п дорівнюють відповідно р і б/, то т і п — корені квадратного рівняння X2 + рх + д = 0.
Арифметична прогресія
Сума членів арифметичної прогресії:
Геометрична прогресія
Сума членів геометричної прогресії:
Імовірність
Імовірністю випадкової події називають відношення кількості подій, які сприяють цій події, до кількості всіх подій під час випробування. Р(А) = — ; Р(А) — імовірність появи події А, п — загальна кількість елементарних подій, т — кількість елементарних подій, які сприяють події А.
Трикутник
Будь-яка сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін і більша за їх різницю: с-Ь < а< с + Ь,Ь < с.
Сума кутів трикутника дорівнює 180°.
Суму довжин усіх сторін трикутника називають його периметром.
Сума зовнішніх кутів трикутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°.
Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів трикутника, не суміжних з ним.
Середня лінія трикутника — це відрізок, який з’єднує середини двох його сторін. Середня лінія трикутника паралельна до однієї з його сторін і дорівнює н половині.
Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює відношенню відповідних сторін (коефіцієнту подібності): —ААВС = к.
Відношення відповідних лінійних елементів (медіан, бісектрис, висот тощо) подібних трикутників теж дорівнює коефіцієнту подібності.
Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату відношення відповідних сторін (квадрату коефіцієнта подібності):
Теорема синусів. Сторони трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів.
Теорема косинусів. Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін та косинуса кута між ними.
Теорема Піфагора. У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: с2 = а2 + Ь2.
Теорема, обернена до теореми Піфагора. Якщо квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін, то цей трикутник — прямокутний.
Значення тригонометричних функцій для деяких кутів.
Радіус вписаного й описаного кіл для рівностороннього трикутника.
Площа рівностороннього трикутника.
Паралелограм
Паралелограмом називають чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.
У паралелограма: 1) протилежні сторони рівні; 2) протилежні кути рінні; 3) діагоналі діляться навпіл; 4) сума кутів, прилегяих д0 однієї сторони, дорівнює 180°; 5) сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін; 6) кут між його висотами, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює його гострому куту, а з вершини гострого кута — тупому куту; 7) бісектриси кутів, прилеглих до однієї сторони, взаємно перпендикулярні.
Площа паралелограма.
Ромб
Ромбом називають паралелограм, у якого всі сторони рівні.
У ромба: 1) діагоналі перпендикулярні; 2) діагоналі є бісектрисами його кутін.
Площа ромба.
Прямокутник
Паралелограм, у якого всі кути прямі, називають прямокутником.
Діагоналі прямокутника рівні.
Площа прямокутника: Б = аЬ; £ = —.<і віл а, де а— кут між діагоналями.
Квадрат
Квадрат — це ромб, у якого всі кути прямі.
Центром вписаного й описаного кіл є точка перетину діагоналей квадрата: сторона квадрата, г — радіус вписаного кола, Я — радіус описаного кола.
Площа квадрата.
Трапеція
Трапецією називають чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші — непаралельні.
У трапеції сума градусних мір кутів, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°. У трапецію можна вписати коло, якщо сума її основ дорівнює.
Скачати шпаргалку для підготовки до ДПА з математики (pdf) : джерело 1