Завдання та вказівки до розв’язування завдань II етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики 2018 (Чернігівська обл.)

Завдання та вказівки до розв’язування  завдань II етапу

Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

6 клас

 Використовуючи не більше шести цифр із 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а також знаки арифметичних дій та дужки, отримайте число 2018. Кожну цифру можна використовувати не більше одного разу, а також з цифр можна складати числа.

  1. Точки і  мають на числовій прямій координати 1 і 2017 відповідно. Знайти координати точок, які поділяють відрізок  на дві частини, одна з яких у три рази довша за іншу.
  2. Іван, Петро і Сидор їли цукерки. Їх прізвища – Іванов, Петров і Сидоров. Іванов з’їв на 2 цукерки менше Івана, Петров – на 2 цукерки менше Петра, а Петро з’їв більше всіх. Які прізвища кожного з них? Відповідь обґрунтуйте.
  3. Незнайка записує у рядок натуральні числа: 123456789101112131415…. На яких місцях, починаючи від початку, вперше будуть стояти три цифри 5 підряд?
  4. Дано круг з центом в точці О і точка А в середині цього круга, відмінна від точки О. Розріжте цей круг на: а) три частини; б) дві частини так, щоб з них можна було скласти круг, але з центром в точці А.

 

7 клас

  1. Довести, що число є складеним.
  2. Знайти тризначне число , таке що чотиризначні числа , задовольняють рівняння .
  3. В середині кута АОВ, рівного , проведені промені ОС і ОD так, що кожен з них є бісектрисою якогось із кутів, що утворилися при цьому. Знайдіть величину кута АОС. Укажіть всі можливі варіанти.
  4. Сім’я складається з трьох осіб – тата, мами та сина. Якщо тату збільшать вдвічі зарплату і сину збільшать вдвічі стипендію, то сімейний бюджет збільшиться на 80%. Якщо мамі збільшать в тричі зарплату і сину збільшать в тричі стипендію, то сімейний бюджет збільшиться на 60%. На скільки відсотків зменшиться сімейний бюджет, якщо мамі й тату в двічі зменшать зарплату?
  5. У грального кубика грані пронумеровані числами від 1 до 6. З п’яти таких кубиків склали башту (поставили один на інший) та підрахували суму чисел на усіх зовнішніх гранях. Після того, як зняли верхній кубик, ця сума зменшилась на 19. Яке число могло бути на верхній грані нового верхнього кубика.

 

8 клас

  1. Яке з чисел більше: чи ?
  2. Знайдіть усі трійки натуральних чисел, які задовольняють умови:
  3. Відрізки AМ і BH відповідно медіана і висота гострокутного трикутника ABC. Відомо, що AH=1, а . Знайдіть довжину сторони BC.
  4. По кругу записані n цілих чисел, сума яких дорівнює 14. Відомо, що будь-яке з записаних чисел дорівнює модулю різниці двох чисел, які слідують за ним. Знайдіть всі можливі значення n.
  5. До кожної грані кубика приклеїли по такому ж кубику. До кожної грані поверхні одержаної фігури приклеїли ще раз по такому ж кубику (можливо, деякі кубики закрили дві грані). З якої кількості квадратиків складається поверхня одержаного тіла?

9 клас

  1. Довести, що число ціле.
  2. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності:
  3. Графік функції перетинає вісь абсцис у точках А і С, а вісь ординат у точці В, причому відомо, що Знайти  де О – початок координат.
  4. В прямокутному трикутнику висота, яка опущена на гіпотенузу, делить її на відрізки, разниця яких дорівнює одному з катетів трикутника. Знайти кути трикутника.
  5. В місті Глупів кожен мешканець – поліцейський, крадій або звичайна людина. Поліціанти завжди брешуть звичайним людям, крадії – поліціантам, звичайні люди – крадіям, а в інших випадках мешканці м. Глупів говорять один одному правду. Одного разу декілька мешканців м. Глупів розмовляли, стоячи по кругу, і кожний сказав своєму сусіду: «Я – поліціант». Скільки звичайних людей було серед цієї групи?

 10 клас

 

  1. Скількома нулями закінчується число, що дорівнює значенню виразу: ?
  2. 2. Про функцію відомо, що:
    • для всіх додатних  та ;

Знайти:

  1. Нехай O – внутрішня точка квадрата ABCD зі стороною AB=1, для якої виконується рівність Доведіть, що O – центр квадрата.
  2. Нехай додатні числа, , де означає найменше з двох чисел і Знайдіть найбільше можливе значення
  3. Для даного натурального n £ 8 розглянемо на шаховій дошці квадрати розміру n ´ n клітин. Для кожного такого квадрата порахуємо кількість чорних клітин на ньому, а потім додамо отриману кількість для всіх квадратів n ´ n. При якому n ця сума досягає найбільшого значення?

11 клас

  1. Порівняти числа та , де – дробова частина числа , ціла частина числа і
  2. Доведіть, що якщо додатні дійсні числа і , то  .
  3. Побудувати на координатній площині множину точок, координати яких задовольняють нерівності:
  4. Дано прямокутний паралелепіпед . Порівняйте відстані від вершини до площин  і
  5. Про многочлени з цілими коефіціентами відомо, що многочлен ділиться без остачі на  Знайдіть

 

Відповіді та вказівки до олімпіадних завдань з математики

6 клас

  1. Відповідь: наприклад,
  2. Відповідь: С(505) та Д(1513).
  3. Відповідь: Петро Сидоров, Іван Петров, Сидор Іванов..
  4. Відповідь:  100, 101, 102.

Розв’язання.  До того, як було записано число 50, цифра 5 зустрічалася тільки в розряді одиниць, тому навіть двох п’ятірок поспіль бути не могло. Три цифри 5 поспіль в перший раз зустрінуться в поєднанні … 5354555657 …. Номери місць, на яких стоять ці три цифри 5, можна обчислити, або безпосередньо виписавши весь ряд, або в такий спосіб: від 1 до 9 в ряду стоять 9 цифр, а від 10 до 54 – 45 двозначних чисел, тобто чисел 90. Всього від першої потрібної цифри 5 стоять 99 цифр. Таким чином, три цифри 5 стоять на 100, 101 і 102 місцях.

  1. Відповідь: наприклад,

а) Виріжте навколо точки О та точки А круги однакових радіусів і їх поміняйте місцями.

б) Виріжте прямокутник всередині круга так, щоб точки О і А лежали на серединах його протилежних сторін та поверніть такий прямокутник на

 

7 клас

  1. Відповідь: Перший доданок даного числа є парним, другий – непарним, третій 1 – непарне. Тому дане число є парним і більше двух, а значить, є складеним.
  2. Відповідь: . Розв’язання. Оскільки а  то дане рівняння буде мати вигляд  звідки .
  3. Відповідь: Кут АОС може бути рівним
  4. Відповідь: на 45 відсотків. Розв’язання. Якщо татові збільшать зарплату вдвічі і синові збільшать стипендію вдвічі, то сумарний дохід сім’ї зросте рівно на татову зарплату і на синову стипендію, що за умовою становить 80 % сімейного бюджету. Отже, мамина зарплата становить решту 20 % сімейного бюджету. Якщо потроїти синові стипендію і мамину зарплату, то дохід сім’ї збільшиться на 2 стипендії сина і 2 мамині зарплати, що становить 60 % сімейного бюджету. Значить, син з мамою приносять в бюджет удвох 30 %. Отже, татів дохід становить 70 % сімейного бюджету. Мамина і татова зарплата разом складають 20 + 70 = 90 % сімейного бюджету. Значить, якщо зарплату мамі і татові зменшать удвічі, то сімейний бюджет зменшиться на 45 %.
  5. Відповідь: 1. Сума чисел на усіх гранях одного кубика дорівнює 21. Тому, після того як прибрали верхній кубик, сума зменшилась на де х – число на верхній грані нового верхнього кубика, а у – на нижній грані старого верхнього кубика. Оскільки то х=у=1.

 

8 клас

  1. Відповідь: Перше більше за друге, бо

а

 

  1. Відповідь: Цю задачу можна зробити методом простого перебору. Можна й так: додамо та віднімемо задані рівності, отримаємо:  Звідки числа  та  є дільниками відповідно чисел 36 та 10, а тому для  можливі такі варіанти .

 

  1. Відповідь: 2. Відрізок HМ – медіана прямокутного трикутника BHC, тому він дорівнює половині гіпотенузи, звідки HМ=ВМ=МС та трикутник HМC – рівнобедрений. Тому З іншого боку зовнішній  у трикутнику АМH, тому трикутник АМH – також рівнобедрений, а отже АH=HМ=ВМ=МС. Звідси ВС=2АH=2.

4. Відповідь: n=3 або n=21.  Вказівка. З умови випливає, що всі записані числа невід’ємні. Нехай a – найбільше з цих чисел (якщо таких декілька, то виберемо будь-яке з них); b, c, d і e – числа, які йдуть за ним по колу. За умовою a = | b–c |, що можливо, тільки якщо одне з чисел b або c дорівнює a, а інше дорівнює нулю. Якщо b = a, c = 0, то d = e = a і так далі. Якщо ж b = 0, c = a, то d = a, e = 0 і так далі. Таким чином, записані числа такі: a, a, 0, a, a, 0, …, a, a, 0. Їх сума дорівнює 2ma, де m – кількість нулів. З рівності 2ma = 14 випливає, що ma = 7, тобто або m = 7, a = 1, або m = 1, a = 7. Отже, n = 21 або n = 3.

 

  1. Відповідь: 78. Розв’язання. Верхній шар фігури буде одиничний кубик, і тому там 5 граней (нижня закрита). Наступний шар буде мати вигляд хреста з 5 кубиків. Граней, що видно у ньому 4 зверху та 12 збоку, тобто ще 16. Третій шар буде мати також форму хреста з 13 кубиків (до хреста з 5 кубиків додалось ще по кубику вздовж периметру, що є у цьому ж шарі). Там граней, що видно по 8 зверху й знизу, й 20 збоку. Далі йдуть знову хрест з 5 кубиків та одиничний кубик. Отже, всього граней, що видно

 

9 клас

 

  1. Вказівка.
  2. Відповідь: -44. Вказівка. Нерівність рівносильна такій: з якої . Найменше ціле, що входить у знайдений розв’язок, буде – 44.
  3. Відповідь:
  4. Відповідь:

Нехай прямокутний трикутник з прямим кутом  і  висота. На відрізку  відмітимо точку так, що . Із умови задачі слідує, що . Тому . Звідки знаходимо, що .

5. Відповідь: жодного. Вказівка. Крадії ніколи не обманюють звичайних людей, тому ніхто з них не міг представитися звичайній людині як поліцейський. Поліцейські брешуть звичайним людям, і ніхто з них не міг зізнатися звичайній людині, що він поліцейський. Значить, в цій групі звичайних людей не було.

 

10 клас

 

  1. Відповідь: 2018. Вказівка. Перепишіть задане число так:

 

  1. Відповідь: -2019. Вказівка. При дана рівність набуває вигляду: , отже, . Нехай , , тоді , тобто

 

3. Вказівка. Нехай x і y – відстані від точки O до сторін AD і AB відповідно. За допомогою теореми Піфагора виразимо через ці числа шуканий вираз і перетворимо його до вигляду:

Як видно з останнього виразу, що він дорівнюватиме  2, тільки якщо обидва квадрати дорівнюють нулю, тобто, якщо . А це і було потрібно довести.

 

  1. Відповідь: . Вказівка. Якщо додатні числа і число , то необхідно знайти, при якому найбільшому додатному  одночасно виконуються нерівності  Тоді а тому  а звідки а тому  Далі залишається показати, що це значення досягається при
  2. Відповідь: при n = 4 та n = 5. Вказівка. При парному n в квадраті порівну білих та чорних клітин, а саме . Всього є квадратів  на шаховій дошці. Тому при парному n загальна сума чорних клітин дорівнює .  При непарному  n число чорних кліток залежить від того, чи є  кутові  клітинки білими або чорними; і воно, відповідно, дорівнює або , або . Але в вертикальній полосі шириною n є 9 – n (тобто парне число) квадратів  і тому число чорних клітин в такій полосці , а у всіх полосках загальна кількість дорівнюватиме , тобто одержали такий самий вираз, як і для парного n. Найбільше значення функції досягається при , і в силу симетричності графіка цієї функції відносно прямої , отримаємо, що для n=4 та n=5 досягається найбільше значення.

 

  

11 клас

  1. Відповідь: Числа рівні.

 

  1. Так як  тому   Отже, .
  2. Відповідь: Графіком даної нерівності буде точка (0; 2018).
  3. Відповідь: відстані рівні. Вказівка. Достатньо показати, що площини і  симетричні відносно площини АВС, тобто АВС є бісек- тральною площиною площин  і .
  1. Відповідь:  Вказівка. Оскільки  то  ділиться без остачі на  а отже і на  Враховуючи умову, матимемо, на  має ділитися і многочлен  Але це многочлен не більше другого степеня, і має ділитися на многочлен четвертого степеня, а тому це можливо лише тоді, коли він тотожний нулю. Отже, з цього випливає, що

Скачати завдання та вказівки до розв’язування завдань II етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

➤