Відкритий урок на тему “Правильні многогранники” (11 клас) (конспект, презентація)

Автор: Тесленко Яна Василівна,

Тема заняття. Правильні многогранники.

Мета заняття. Домогтися засвоєння учнями означення правильного многогранника та п’яти видів правильних многогранників; сформувати в учнів поняття про елементи правильних многогранників; вдосконалювати навички розв’язування задач про правильні многогранники на основі знань про многогранні кути; розвивати творчу активність учнів, створювати умови для вияву ініціативи учнів під час вибору завдань; виховувати в учнів прагнення до самовдосконалення, задоволення пізнавальних потреб.

Обладнання. Моделі правильних многогранників, слайди про многогранники.

Вид заняття:  лекція комплексного характеру.

Література:

1. О.В. Погорєлов «Геометрія 10-11»
2. Л.А. Балінська, Б.М. Койчу «Геометрія уроки-практикуми»
3. О.М. Роганін «Геометрія плани-конспекти 11»

 Переглянути презентацію до уроку

Епіграф. Правильних многогранників надзвичайно мало,

               але цей дуже скромний за кількістю загін зумів

                пробитись у найбільші глибини різних наук.

 

Л.Керролл

План заняття

І. Організація початку заняття.

ІІ. Актуалізація опорних знань ( 10 хв.)

• Перевірка домашнього завдання.
• Гра «Продовжи речення».
• Тестові завдання.
• Робота з індивідуальними картками.

ІІІ. Повідомлення теми, мети заняття.

1. IV. Сприйняття і усвідомлення нового матеріалу. (10 хв.)
2. V. Цікаві повідомлення. (5 хв.)
3. VI. Закріплення вивченого матеріалу. (15 хв.)

VII. Підведення підсумків заняття. Домашнє завдання.

 

Хід заняття

І. Організація початку заняття.

ІІ. Актуалізація опорних знань ( 10 хв.)

• Перевірка домашнього завдання.

Відтворення домашньої задачі на дошці.

Задача. Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 6см і 8см. Кожне бічне ребро піраміди дорівнює 13см. Обчислити висоту піраміди. (Відповідь. 12см).

• Гра «Продовжи речення».

1) Многогранник – це тіло, складене з… (кінцевого числа плоских многокутників)

2) Многогранник, складений з двох плоских многокутників, які лежать в різних площинах, і всіх відрізків, які з’єднують точки цих многокутників, – це… (призма)

3) Основи призми…(паралельні та рівні)

4) Висота призми – це відстань між….( площинами основ)

5) Діагональ призми – це….( відстань між вершинами, які не належать одній грані)

6) Бічна поверхня призми – це…( сума площ бічних граней)

7) Правильний многогранник, в якому грані правильні трикутники, і в якому в кожній вершині зводиться по 4 ребра…( октаедр)

8) Що таке піраміда?

9) Що називається висотою піраміди?

10) Бічна поверхня піраміди – це…

11) Апофема – це…

 

• Тестові завдання.

І варіант.

1) Якщо кожне ребро правильної шестикутної призми дорівнює а, то площа її бічної поверхні дорівнює:

а) 2а2; б) 4а2; в) 6а2; г) 8а2.

 

2) Якщо ребро куба дорівнює 3см, то його площа поверхні дорівнює:

а) 9см2; б) 36см2; в) 54см2; г) 27см2.

 

3) Якщо виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 8см, 9см і 12см, то його діагональ дорівнює:

а) 12см; б) 17см; в) 20см; г) 29см.

 

4) Якщо площі деяких граней паралелепіпеда дорівнюють 2см2,3см2. 6см2, то його повна поверхня дорівнює:

а) 11см2;б) 36см2; в) 100 см2; г) 22см2.

 

ІІ варіант.

1) Якщо кожне ребро правильної восьмикутної призми дорівнює а, то площа її бічної поверхні дорівнює:

а) 2а2; б) 4а2; в) 6а2; г) 8а2.

 

2) Якщо поверхня куба дорівнює 24см2, то його ребро дорівнює:

а) 2см; б) 3см; в) 4см; г) 6см.

 

3) Якщо виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 12см, 16см і 21см, то його діагональ дорівнює:

а) 23см; б) 25см; в) 27см; г) 29см.

 

4) Якщо площі деяких граней паралелепіпеда дорівнюють 2см2, 5см2 і 6см2, то його повна поверхня дорівнює:

а) 13см2;б) 26см2; в) 39 см2; г) 52см2.

 

Відповіді:

І в. 1. В)  2. В)  3. Б)  4. Г)

ІІ в. 1. Г) 2. А) 3. Г)  4. Б)

 

Далі робота на індивідуальних картках 5 чол. ( ті хто цікаві повідомлення і ще деякі). Всі інші тестові завдання з самоперевіркою.

 

• Робота з індивідуальними картками.

Картка №1

Виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють: 3 см, 2см і 6см (рис 60)

Знайдіть:

а) довжину діагоналі паралелепіпеда;

б) довжину діагоналі найменшої грані;

в) площу найбільшої грані;

г) площу найменшої  грані;

д) площу поверхні паралелепіпеда;
Картка № 2

Виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють: 2 см, 4см  і 4см (рис 61)

Знайдіть:

а) довжину діагоналі паралелепіпеда;

б) довжину діагоналі найменшої грані;

в) площу найбільшої грані;

г) площу найменшої  грані;

д) площу поверхні паралелепіпеда;

Відповіді. Варіант 1. а) 7см; б) см; в) 18см; г) 6см; д) 72см;

Відповіді. Варіант 2. а) 6см; б) см; в) 16см; г) 8см; д) 64см;

 

 

ІІІ. Повідомлення теми, мети заняття.

Сьогодні на уроці ми ознайомимося з поняттям правильних многогранників, їх видами та елементами. Знайдемо правильні многогранники у природі.

 

1. IV. Сприйняття і усвідомлення нового матеріалу. (10 хв.)

У курсі планіметрії  ви познайомилися з правильними многокутниками. Многокутник називається правильним, якщо у нього всі сторони і всі кути рівні. Існує безліч правильних многокутників.

Опуклий многогранник називається правильним, якщо його грані є правильними многокутниками з однією й тією ж кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника сходиться одне і те ж число ребер.

 

Існує п’ять типів правильних опуклих многогранників:

–         правильний тетраедр;

 

–         правильний гексаедр (куб);

 

–         правильний октаедр;

 

–         правильний додекаедр;

 

–         правильний ікосаедр.

 

 

Насправді, щоб отримати який-небудь правильний многогранник, згідно визначення, в кожній вершині має сходитися однакова кількість граней, кожна з яких є правильним многокутником. Сума плоских кутів многогранного кута повинна бути менше  360^о. Нехай k – число плоских кутів, які сходяться в одній вершині многогранника. Перебираючи всі можливі цілі розв’язки нерівностей: 60 k < 360,  90 k < 360,  108 k < 360, можна довести, що правильних многогранників лише п’ять.

А як визначити кількість граней, вершин та ребер?

Цим питанням займався знаменитий математик Л.Ейлер.

 

У правильного тетраедра грані – правильні трикутники, у кожній вершині збігається по три ребра.

Тетраедр – трикутна піраміда, усі ребра якої рівні.

У куба всі грані – квадрати, у кожній вершині збігається по три ребра.

Куб – прямокутний паралелепіпед з однаковими ребрами.

В  октаедра грані – правильні трикутники, у кожній вершині збігається по чотири ребра.

У додекаедра грані – правильні п’ятикутники, у кожній його вершині збігається по три ребра.

В ікосаедра грані – правильні трикутники, у кожній його вершині збігається по п’ять ребер.

 

1. V. Цікаві повідомлення. (5 хв.)

1)  Правильним многогранникам присвячена 13-та книга «Начал» Евкліда. Їх ще називають тілами Платона, так як вони займали особливе місце в філософії Платона про будову світогляду Тетраедр символізував вогонь, ікосаедр – воду, гексаедр – землю, октаедр – повітря. Додекаедр символізував увесь світогляд і рахувався головним. Гармонійні стосунки древні греки вважали основою світогляду, тому чотири стихії були пов’язані  такою пропорцією: земля/вода = повітря/вогонь.

Форму додекаедра Платон надавав усьому Всесвіту. Саме тому на репродукції картини С.Далі «Тайна вечеря» зображено Ісуса Христа зі своїми учнями на фоні величезного прозорого додекаедра.

 

  2) Саме ікосаедр опинився в центрі уваги біологів, в їх спірних питаннях щодо форми вірусів. Вірус не може бути зовсім круглим, як вважалося раніше. Щоб встановити його форму, брали різні многогранники, направляли на них світло під тими ж кутами, що й потік атомів на вірус. Виявилося, що тільки один многогранник дає таку ж тінь – це ікосаедр. Його геометричні властивості дозволяють економити генетичну інформацію.

Ікосаедр за формою нагадує скелет одноклітинного організму феод арії.

Ікосаедр має найбільший об’єм при найменшій площі поверхні. Ця властивість допомагає морському організму долати тиск води.

 

  3)Німецький астроном і математик І.Кеплер припустив, що існує зв’язок між п’ятьма правильними многогранниками і шістьма відкритими на той час планетами Сонячної системи. Згідно цьому припущенню в сферу орбіти Сатурна можна вписати куб, в який вписується сфера орбіти Юпітера. В неї, у свою чергу, вписується тетраедр, описаний навколо сфери орбіти Марса. У сферу орбіти Марса вписується додекаедр, в який вписується сфера орбіти Землі. А вона описана навколо ікосаедра. В який вписана сфера орбіти Венери. Сфера цієї планети описана навколо октаедра, в який вписується сфера Меркурія.

Така модель Сонячної системи отримала назву «Космічного кубка» Кеплера.

 

 

1. VI. Закріплення вивченого матеріалу. (15 хв.)

Задача в підручнику на сторінці 78 №17

 

1. Основа прямого паралелепіпеда – паралелограм зі сторонами 5 і 8 дм і гострим кутом 30⁰. Повна поверхня паралелепіпеда дорівнює 170 дм². Знайдіть його висоту.

Дано АВСДА₁В₁С₁ – прямий паралелепіпед.,

АВ = 5 дм; ВС = 8 дм.

ВАД = 30⁰

S_пов. = 170 дм².

Знайти: h.

Розв’язання

S_пов. = S_біч. + 2 • S_осн.

S_осн =

S_пов. = S_біч + 40

170 = S_біч + 40

S_біч = 130 дм².

S_біч = h• Р_АВСД

Р_АВСД = (АВ + ВС) ∙ 2

Р_АВСД = 13 • 2 = 26 (см)

 

Відповідь. 5 см

 

2. Основа прямої призми – прямокутний трикутник з катетами 6 і 8 см. Діагональ бічної грані, яка містить гіпотенузу трикутника, дорівнює 26 см.

Знайдіть:

а) висоту призми;

б) бічну поверхню призми;

в) повну поверхню призми.

 

VII. Підведення підсумків заняття. Домашнє завдання.

 

Підведення підсумків.

1. Що ми вивчали на сьогоднішньому уроці?
2. Сформулюйте означення правильного многогранника.
3. Скільки існує типів правильних многогранників?

 

Домашнє завдання

Середній рівень

Заповнити таблицю, використовуючи теорему Ейлера.

 

Достатній рівень

Заповнити таблицю, використовуючи теорему Ейлера

Задача 1. Площа поверхні правильного ікосаедра дорівнює 360 см². Знайдіть площу однієї грані та ребро ікосаедра.

 

Високий рівень

Заповнити таблицю, використовуючи теорему Ейлера

Задача 1. Основою піраміди є грань куба, а вершиною – його центр. Знайдіть об’єм піраміди, якщо ребро куба дорівнює 3 см.

Задача 2. Під яким кутом з центра куба видно його ребро?

Скачати матеріали уроку на тему “Правильні многогранники”: конспект, презентація