Завдання та відповіді ІІІ (міського) етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики (Київ)

23 та 30 січня 2022 року відбувся ІІІ етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики.

Тестові завдання ІІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики у місті Києві (2021–2022 навчальний рік)

«Старайся легко приймати те, що неминуче».

Платон

7 клас

1. Відомо, що у прямокутника довжини сторін вимірюються цілим числом сантиметрів, а його периметр дорівнює см. Чому дорівнює площа цього прямокутника у квадратних сантиметрах?
2. Яку найбільшу кількість шахових тур можна поставити на дошці , щоб жодні дві не атакували одна одну? Шахова тура атакує усі поля тієї вертикалі та горизонталі, в якій вона розташована.
3. Відомо, що . Яке значення може приймати вираз
4. Усі трицифрові числа у порядку зростання виписані як одне величезне багатоцифрове число: . Яка цифра у такому числі розташована на -й позиції?

8 клас

1. У Петрика в сумці є шкарпетки білого кольору, – синього кольору та  шкарпетки чорного кольору. Він навмання виймає їх по одній. Скільки щонайменше шкарпеток йому треба дістати, щоб гарантовано була витягнута принаймні одна однокольорова пара шкарпеток?
2. Усі чотирицифрові числа у порядку зростання виписані як одне величезне багатоцифрове число: . Яка цифра у такому числі розташована на -й позиції?
3. Вираз записали у вигляді правильного нескоротного дробу. Чому дорівнює чисельник цього дробу?

9 клас

1. На яке найменше натуральне число слід домножити число , щоб число мало непарну кількість дільників?
2. Навколо прямокутної клумби завбільшки  побудована доріжка однакової ширини, як це показано на рис. 2. Відомо, що зовнішній прямокутник, що оточує доріжку, має сторони, одна з яких удвічі більша за іншу. Чому дорівнює площа доріжки?
3. У кубі , що складений з кубиків пофарбували зовнішню поверхню. Після цього його знову розібрали на  кубиків . У скількох з них буде пофарбована рівно одна грань?
4. Вираз записали у вигляді правильного нескоротного дробу. Чому дорівнює чисельник цього дробу?

10 клас

1. Яку найбільшу кількість шахових коней можна поставити на шахівницю таким чином, щоб жодні два з них не атакували один одного?
2. У опуклому чотирикутнику проведені діагоналі, що перетинаються в точці . Чому дорівнює площа трикутника , якщо відомі площі таких трикутників: , та .
3. Скільки існує пар натуральних чисел, для яких сума чисел цієї пари дорівнює їх найменшому спільному кратному?
4. Для скількох дійсних значень число є натуральним?

11 клас

1. Для якого найменшого додатного значення рівняння має принаймні один корінь?
2. Для якого найбільшого натурального числа простим числом є ?
3. Всередині опуклого чотирикутника вибрана точка . Ця точка з’єднана з серединами сторін чотирикутника . Відомі площі трьох чотирикутників, що при цьому утворилися, як це показано на рис. 3. Чому дорівнює – площа четвертого чотирикутника?
4. На зібранні олігархів вирішили виділити кошти на благодійність. Вони випадковим чином отримали номери від до . Після цього вони по черзі йшли до банку, дивилися на зібрану суму, збільшували її удвічі та додавали ще  гривню. Перший олігарх починав з нульового рахунку. Яка сума була зібрана по завершенні акції?

Завантажити: Завдання та відповіді ІІІ (міського) етапу олімпіади з математики (1 тур), 2 тур